Упр.842 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, при каких значениях $$x$$ значение производной функции $$f(x)$$ положительно:

1. $$f(x)=e^x-x$$;
2. $$f(x)=x\ln 2-2^x$$;
3. $$f(x)=e^x x^2$$;
4. $$f(x)=e^x\sqrt{x}$$.

1) $$f(x)=e^x-x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(e^x-x)’=e^x-1.$$

Требуется, чтобы $$f'(x)>0$$:

$$e^x-1>0 \\\\ e^x>1 \\\\ x>0.$$

Ответ: $$x\in(0;+\infty).$$

2) $$f(x)=x\ln 2-2^x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(x\ln 2-2^x)’=\ln 2-2^x\ln 2=\ln 2\,(1-2^x).$$

Так как $$\ln 2>0$$, то знак производной определяется выражением $$1-2^x$$. Нужно, чтобы

$$1-2^x>0 \\\\ 2^x<1 \\\\ x<0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0).$$

3) $$f(x)=e^x x^2$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=(e^x x^2)’=e^x x^2+e^x\cdot 2x=e^x(x^2+2x)=e^x x(x+2).$$

Так как $$e^x>0$$ при любых $$x$$, то нужно решить неравенство

$$x(x+2)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$$

4) $$f(x)=e^x\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0$$. Для производной нужно $$x>0$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=(e^x\sqrt{x})’=e^x\sqrt{x}+e^x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x)=e^x\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right).$$

При $$x>0$$ имеем $$e^x>0$$ и $$\sqrt{x}>0$$, поэтому

$$\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0.$$

Значит, $$f'(x)>0$$ при всех $$x>0$$.

Ответ: $$x\in(0;+\infty).$$