Упр.839 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\cos x}{e^x}$$
2. $$\frac{3x}{\sin x}$$
3. $$\ln x \cdot \cos 3x$$
4. $$\log_3(x)\cdot\sin 2x$$

1) $$f(x)=\frac{\cos x}{e^x}$$

Найдём производную по правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{(\cos x)’ \cdot e^x-\cos x \cdot (e^x)’}{(e^x)^2} =\frac{-\sin x \cdot e^x-\cos x \cdot e^x}{e^{2x}} =\frac{-(\sin x+\cos x)}{e^x}.$$

Ответ: $$f'(x)=-\frac{\sin x+\cos x}{e^x}$$

2) $$f(x)=\frac{3^x}{\sin x}$$

Используем правило производной частного:

$$f'(x)=\frac{(3^x)’ \cdot \sin x-3^x \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x} =\frac{3^x\ln 3 \cdot \sin x-3^x \cos x}{\sin^2 x} =\frac{3^x(\ln 3 \sin x-\cos x)}{\sin^2 x}.$$

Ответ: $$f'(x)=\frac{3^x(\ln 3 \sin x-\cos x)}{\sin^2 x}$$

3) $$f(x)=\ln x \cdot \cos 3x$$

Применим правило производной произведения:

$$f'(x)=(\ln x)’ \cdot \cos 3x+\ln x \cdot (\cos 3x)’ =\frac{1}{x}\cos 3x+\ln x \cdot (-3\sin 3x) =\frac{\cos 3x}{x}-3\ln x \sin 3x.$$

Ответ: $$f'(x)=\frac{\cos 3x}{x}-3\ln x \sin 3x$$

4) $$f(x)=\log_3 x \cdot \sin 2x$$

Снова используем правило производной произведения:

$$f'(x)=(\log_3 x)’ \cdot \sin 2x+\log_3 x \cdot (\sin 2x)’ =\frac{1}{x\ln 3}\sin 2x+\log_3 x \cdot 2\cos 2x =\frac{\sin 2x}{x\ln 3}+2\log_3 x \cos 2x.$$

Ответ: $$f'(x)=\frac{\sin 2x}{x\ln 3}+2\log_3 x \cos 2x$$