Упр.830 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 830 Найти производную функции f (х) = корень (х2 — 5х + 6) при х < 2 и при х > 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 830 1111

Найдём производную функции

$$f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}.$$

Положим $$u=x^2-5x+6,$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$ По правилу производной сложной функции:

$$f'(x)=\left(\sqrt{u}\right)’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}.$$

Так как

$$u’=2x-5,$$

то

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}.$$

При $$x<2$$ и при $$x>3$$ подкоренное выражение положительно, поэтому производная имеет смысл именно на этих промежутках.

Можно также записать:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

поэтому

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}}.$$

Ответ

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}=\frac{2x-5}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}} \quad \text{при } x<2 \text{ и } x>3.$$