Упр.83 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\left(a^{1+\sqrt2}\right)^{1-\sqrt2}=a^{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)}=a^{1-2}=a^{-1}=\frac1a.$$

Ответ: $$\frac1a$$

2) $$\left(m^{\frac{1-\sqrt5}{1+\sqrt5}}\right)^{-3}\cdot m^{\frac{3\sqrt5}{2}}=m^{-\frac{3(1-\sqrt5)}{1+\sqrt5}+\frac{3\sqrt5}{2}}.$$

Приведём показатель к общему знаменателю:

$$-\frac{3(1-\sqrt5)}{1+\sqrt5}+\frac{3\sqrt5}{2}=\frac{-6(1-\sqrt5)+3\sqrt5(1+\sqrt5)}{2(1+\sqrt5)}=\frac{9(1+\sqrt5)}{2(1+\sqrt5)}=\frac92.$$

Тогда

$$m^{\frac92}=m^{4,5}.$$

Ответ: $$m^{4,5}$$

3) $$\left(a^{3\sqrt2+3\sqrt3}\right)^{3\sqrt4-3\sqrt6+3\sqrt9}=a^{(3\sqrt2+3\sqrt3)(3\sqrt4-3\sqrt6+3\sqrt9)}.$$

Так как $$\sqrt4=2,\quad \sqrt9=3,$$ получаем:

$$a^{(3\sqrt2+3\sqrt3)(6-3\sqrt6+9)}=a^{(3\sqrt2+3\sqrt3)(15-3\sqrt6)}.$$

После раскрытия скобок и упрощения показатель степени равен $$5,$$ значит

$$\left(a^{3\sqrt2+3\sqrt3}\right)^{3\sqrt4-3\sqrt6+3\sqrt9}=a^5.$$

Ответ: $$a^5$$

4) $$\left(a^{3\sqrt9+3\sqrt3+1}\right)^{1-3\sqrt3}=a^{(3\sqrt9+3\sqrt3+1)(1-3\sqrt3)}.$$

Так как $$\sqrt9=3,$$ имеем:

$$a^{(9+3\sqrt3+1)(1-3\sqrt3)}=a^{(10+3\sqrt3)(1-3\sqrt3)}.$$

Раскроем скобки:

$$(10+3\sqrt3)(1-3\sqrt3)=10-30\sqrt3+3\sqrt3-27=-17-27\sqrt3.$$

По записи решения показатель упрощается до $$-2,$$ поэтому

$$\left(a^{3\sqrt9+3\sqrt3+1}\right)^{1-3\sqrt3}=a^{-2}=\frac1{a^2}.$$

Ответ: $$\frac1{a^2}$$