Упр.815 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти $$f'(1)$$, если:

1) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$;

2) $$f(x)=\frac{2x^2}{1-7x}$$.

1) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$

$$f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$$

$$f'(x)=\frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$$

Тогда

$$f'(1)=\frac{4\cdot 1}{(1^2+1)^2}=\frac{4}{4}=1$$

Ответ: $$1$$

2) $$f(x)=\frac{2x^2}{1-7x}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(2x^2)'(1-7x)-2x^2(1-7x)’}{(1-7x)^2}$$

$$f'(x)=\frac{4x(1-7x)-2x^2\cdot(-7)}{(1-7x)^2}$$

$$f'(x)=\frac{4x-28x^2+14x^2}{(1-7x)^2}=\frac{4x-14x^2}{(1-7x)^2}$$

Тогда

$$f'(1)=\frac{4-14}{(1-7)^2}=\frac{-10}{36}=-\frac{5}{18}$$

Ответ: $$-\frac{5}{18}$$