Упр.811 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) f (х) — (х — 1)8 (2 — х)7;
2) f (x) = (2x — 1)5 (1 + x)4;
3) f(x) = корень (2-x) (3-2x)8;
4) f (x) = (5x -4)6 корень (3x-2).
$$f(x)=(x-1)^8(2-x)^7$$
Найдём производную по правилу произведения:
$$ f'(x)=8(x-1)^7(2-x)^7+(x-1)^8\cdot 7(2-x)^6\cdot(-1) $$
$$ f'(x)=8(x-1)^7(2-x)^7-7(x-1)^8(2-x)^6 $$
Подставим $x=1$:
$$ f'(1)=8(1-1)^7(2-1)^7-7(1-1)^8(2-1)^6=0 $$
$$f(x)=(2x-1)^5(1+x)^4$$
По правилу произведения:
$$ f'(x)=5(2x-1)^4\cdot 2\cdot(1+x)^4+(2x-1)^5\cdot 4(1+x)^3 $$
$$ f'(x)=10(2x-1)^4(1+x)^4+4(2x-1)^5(1+x)^3 $$
Вынесем общий множитель:
$$ f'(x)=(2x-1)^4(1+x)^3\bigl(10(1+x)+4(2x-1)\bigr) $$
$$ f'(x)=(2x-1)^4(1+x)^3(18x+6) $$
Подставим $x=1$:
$$ f'(1)=(2\cdot1-1)^4(1+1)^3(18\cdot1+6)=1^4\cdot 2^3\cdot 24=192 $$
$$f(x)=\sqrt{2-x}\,(3-2x)^8$$
По правилу произведения:
$$ f'(x)=\left(\sqrt{2-x}\right)'(3-2x)^8+\sqrt{2-x}\,\bigl((3-2x)^8\bigr)’ $$
$$ \left(\sqrt{2-x}\right)’=\frac{-1}{2\sqrt{2-x}}, \qquad \bigl((3-2x)^8\bigr)’=8(3-2x)^7\cdot(-2) $$
$$ f'(x)=-\frac{(3-2x)^8}{2\sqrt{2-x}}-16\sqrt{2-x}\,(3-2x)^7 $$
Подставим $x=1$:
$$ f'(1)=-\frac{(3-2)^8}{2\sqrt{2-1}}-16\sqrt{2-1}\,(3-2)^7 $$
$$ f'(1)=-\frac{1}{2}-16=-\frac{33}{2} $$
$$f(x)=(5x-4)^6\sqrt{3x-2}$$
По правилу произведения:
$$ f'(x)=6(5x-4)^5\cdot 5\sqrt{3x-2}+(5x-4)^6\cdot \frac{3}{2\sqrt{3x-2}} $$
$$ f'(x)=30(5x-4)^5\sqrt{3x-2}+\frac{3(5x-4)^6}{2\sqrt{3x-2}} $$
Подставим $x=1$:
$$ f'(1)=30(5-4)^5\sqrt{3-2}+\frac{3(5-4)^6}{2\sqrt{3-2}} $$
$$ f'(1)=30\cdot 1\cdot 1+\frac{3}{2}=30+\frac{3}{2}=\frac{63}{2} $$
Ответ
1) $$0$$; 2) $$192$$; 3) $$-\frac{33}{2}$$; 4) $$\frac{63}{2}$$.
