Упр.808 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Дифференцируема ли функция $$y=f(x)$$ в точке $$x$$, если:

1. а) $$y=\frac{2}{x-1}$$, $$x=1$$;
2. б) $$y=\frac{3x-5}{(x-3)^2}$$, $$x=3$$;
3. в) $$y=\sqrt{x+1}$$, $$x=0$$;
4. г) $$y=\sqrt{5-x}$$, $$x=4$$.

1. $$y=\frac{2}{x-1}, \quad x=1$$

   При $$x=1$$ знаменатель обращается в нуль: $$x-1=0$$. Значит, функция в этой точке не определена, а следовательно, не дифференцируема.

   Ответ: не дифференцируема.

2. $$y=\frac{3x-5}{(x-3)^2}, \quad x=3$$

   При $$x=3$$ знаменатель равен нулю: $$\left(x-3\right)^2=0$$. Следовательно, функция в этой точке не определена и не дифференцируема.

   Ответ: не дифференцируема.

3. $$y=\sqrt{x+1}, \quad x=0$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\sqrt{x+1}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$

   Подставим $$x=0$$:

   $$y'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0+1}}=\frac{1}{2}$$

   Производная в точке существует, значит, функция дифференцируема.

   Ответ: дифференцируема.

4. $$y=\sqrt{5-x}, \quad x=4$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\sqrt{5-x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$$

   Подставим $$x=4$$:

   $$y'(4)=-\frac{1}{2\sqrt{5-4}}=-\frac{1}{2}$$

   Производная в точке существует, значит, функция дифференцируема.

   Ответ: дифференцируема.