Упр.807 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x) =1/x + 1/x2;
2) f(x) = корень x + 1/x + 1;
3) f(x) = 3/корень x — 2/x3;
4) f(x) = x3/2 — x^-3/2.

1. $$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’+\left(\frac{1}{x^2}\right)’=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$$

   Тогда

   $$f'(3)=-\frac{1}{3^2}-\frac{2}{3^3}=-\frac{1}{9}-\frac{2}{27}=-\frac{5}{27}$$

   $$f'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{2}{1^3}=-1-2=-3$$

2. $$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}+1$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’+\left(\frac{1}{x}\right)’+(1)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$$

   Тогда

   $$f'(3)=\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{9}=\frac{3\sqrt{3}-2}{18}$$

   $$f'(1)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$$

3. $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x^3}$$

   Представим в виде степеней:

   $$f(x)=3x^{-\frac{1}{2}}-2x^{-3}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}-2\cdot(-3)x^{-4}=-\frac{3}{2x\sqrt{x}}+\frac{6}{x^4}$$

   Тогда

   $$f'(3)=-\frac{3}{2\cdot 3\sqrt{3}}+\frac{6}{3^4}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{2}{27}=\frac{4-3\sqrt{3}}{54}$$

   $$f'(1)=-\frac{3}{2}+6=\frac{9}{2}$$

4. $$f(x)=x^{\frac{3}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$$

   Тогда

   $$f'(3)=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2\cdot 3^2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{9}$$

   $$f'(1)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$$

Ответ

1) $$f'(3)=-\frac{5}{27},\quad f'(1)=-3$$

2) $$f'(3)=\frac{3\sqrt{3}-2}{18},\quad f'(1)=-\frac{1}{2}$$

3) $$f'(3)=\frac{4-3\sqrt{3}}{54},\quad f'(1)=\frac{9}{2}$$

4) $$f'(3)=\frac{14\sqrt{3}}{9},\quad f'(1)=3$$