Упр.807 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти $$f'(3)$$ и $$f'(1)$$, если:

1. 1) $$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$;
   2) $$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}+1$$;
   3) $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x^3}$$;
   4) $$f(x)=x^{\frac{3}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}$$.

1) $$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’+\left(\frac{1}{x^2}\right)’=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$$

Тогда

$$f'(3)=-\frac{1}{3^2}-\frac{2}{3^3}=-\frac{1}{9}-\frac{2}{27}=-\frac{5}{27}$$

$$f'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{2}{1^3}=-1-2=-3$$

Ответ: $$-\frac{5}{27};\ -3$$

2) $$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{x}+1$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’+\left(\frac{1}{x}\right)’+(1)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}$$

Тогда

$$f'(3)=\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{9}=\frac{3\sqrt{3}-2}{18}$$

$$f'(1)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$$

Ответ: $$\frac{3\sqrt{3}-2}{18};\ -\frac{1}{2}$$

3) $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{2}{x^3}$$

Перепишем в виде степеней:

$$f(x)=3x^{-\frac{1}{2}}-2x^{-3}$$

Тогда

$$f'(x)=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}-2\cdot(-3)x^{-4}=-\frac{3}{2x\sqrt{x}}+\frac{6}{x^4}$$

Найдём значения производной:

$$f'(3)=-\frac{3}{2\cdot 3\sqrt{3}}+\frac{6}{3^4}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{2}{27}=\frac{4-3\sqrt{3}}{54}$$

$$f'(1)=-\frac{3}{2}+\frac{6}{1^4}=\frac{9}{2}$$

Ответ: $$\frac{4-3\sqrt{3}}{54};\ \frac{9}{2}$$

4) $$f(x)=x^{\frac{3}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’-\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)’=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$$

Тогда

$$f'(3)=\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{3}{2\cdot 3^{5/2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{9}$$

$$f'(1)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$$

Ответ: $$\frac{14\sqrt{3}}{9};\ 3$$