Упр.80 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

80. Упростить выражение:
    
    1) $$a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a}\sqrt[3]{a}$$;
    
    2) $$b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b}\sqrt[4]{b}$$;
    
    3) $$\left(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-\frac{1}{6}}\right)\sqrt[6]{ab^4}$$;
    
    4) $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}-\sqrt[3]{ab}\right)$$.

1) $$a^{\frac19}\sqrt[6]{a^3\sqrt a}=a^{\frac19}\cdot a^{\frac{3}{6}}\cdot a^{\frac{1}{12}}=a^{\frac19+\frac12+\frac{1}{12}}=a^{\frac{4+18+3}{36}}=a^{\frac13}.$$

2) $$b^{\frac1{12}}\sqrt[3]{b^4\sqrt b}=b^{\frac1{12}}\cdot b^{\frac43}\cdot b^{\frac16}=b^{\frac1{12}+\frac43+\frac16}=b^{\frac{1+16+2}{12}}=b^{\frac12}.$$

3) $$\left(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-\frac16}\right)\sqrt[6]{ab^4}$$

$$=\left(a^{\frac13}b^{-\frac23}+a^{-\frac16}b^{-\frac16}\right)a^{\frac16}b^{\frac46}$$

$$=a^{\frac13+\frac16}b^{-\frac23+\frac46}+a^{-\frac16+\frac16}b^{-\frac16+\frac46}$$

$$=a^{\frac12}b^0+a^0b^{\frac12}=a^{\frac12}+b^{\frac12}.$$

4) $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}-\sqrt[3]{ab}\right)$$

Обозначим $$x=\sqrt[3]{a},\quad y=\sqrt[3]{b}.$$ Тогда выражение принимает вид

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3=a+b.$$

Ответ: 1) $$a^{\frac13}$$; 2) $$b^{\frac12}$$; 3) $$a^{\frac12}+b^{\frac12}$$; 4) $$a+b$$.