Упр.799 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ выполняется равенство $$f'(x)=f(x)$$, если:
1) $$f(x)=(2x-1)^2$$;
2) $$f(x)=(3x+2)^3$$?

1) $$f(x)=(2x-1)^2$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2(2x-1)\cdot 2=4(2x-1).$$

Тогда условие $$f'(x)=f(x)$$ даёт:

$$(2x-1)^2=4(2x-1)$$

$$(2x-1)^2-4(2x-1)=0$$

$$(2x-1)\bigl((2x-1)-4\bigr)=0$$

$$(2x-1)(2x-5)=0$$

Отсюда:

$$2x-1=0 \quad \text{или} \quad 2x-5=0,$$

$$x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=\frac52.$$

2) $$f(x)=(3x+2)^3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3(3x+2)^2\cdot 3=9(3x+2)^2.$$

Условие $$f'(x)=f(x)$$ приводит к уравнению:

$$(3x+2)^3=9(3x+2)^2$$

$$(3x+2)^3-9(3x+2)^2=0$$

$$(3x+2)^2\bigl((3x+2)-9\bigr)=0$$

$$(3x+2)^2(3x-7)=0$$

Следовательно:

$$3x+2=0 \quad \text{или} \quad 3x-7=0,$$

$$x=-\frac23 \quad \text{или} \quad x=\frac73.$$

Ответ: 1) $$\frac12,\ \frac52$$; 2) $$-\frac23,\ \frac73$$.