Упр.793 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти $$f'(x_0)$$, если:

1. $$f(x)=x^6$$, $$x_0=\frac{1}{2}$$;
2. $$f(x)=x^{-2}$$, $$x_0=3$$;
3. $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$x_0=4$$;
4. $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$, $$x_0=8$$;
5. $$f(x)=\sqrt{5-4x}$$, $$x_0=1$$;
6. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}$$, $$x_0=1$$.

1) $$f(x)=x^6,\quad x_0=\frac12$$

$$f'(x)=(x^6)’=6x^5$$

$$f’\!\left(\frac12\right)=6\left(\frac12\right)^5=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}$$

2) $$f(x)=x^{-2},\quad x_0=3$$

$$f'(x)=(x^{-2})’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$

$$f'(3)=-\frac{2}{3^3}=-\frac{2}{27}$$

3) $$f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=4$$

$$f'(x)=(x^{1/2})’=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac14$$

4) $$f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3},\quad x_0=8$$

$$f'(x)=\left(x^{1/3}\right)’=\frac13x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

$$f'(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}$$

5) $$f(x)=\sqrt{5-4x},\quad x_0=1$$

$$f'(x)=\left(5-4x\right)^{1/2}{}’=\frac12(5-4x)^{-1/2}\cdot(-4)=-\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$$

$$f'(1)=-\frac{2}{\sqrt{5-4\cdot 1}}=-\frac{2}{\sqrt{1}}=-2$$

6) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x+1}},\quad x_0=1$$

$$f(x)=(3x+1)^{-1/2}$$

$$f'(x)=-\frac12(3x+1)^{-3/2}\cdot 3=-\frac{3}{2(3x+1)^{3/2}}=-\frac{3}{2\sqrt{(3x+1)^3}}$$

$$f'(1)=-\frac{3}{2(3\cdot 1+1)^{3/2}}=-\frac{3}{2\cdot 4^{3/2}}=-\frac{3}{2\cdot 8}=-\frac{3}{16}$$

Ответ

1) $$\frac{3}{16}$$; 2) $$-\frac{2}{27}$$; 3) $$\frac14$$; 4) $$\frac{1}{12}$$; 5) $$-2$$; 6) $$-\frac{3}{16}$$.