Упр.79 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. $$\left(2^{\frac{5}{3}}\cdot 3^{-\frac{1}{3}}-3^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right)\sqrt[3]{6}$$
2. $$\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\sqrt[4]{1000}$$

1) $$\left(2^{\frac{5}{3}}\cdot 3^{-\frac{1}{3}}-3^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right)\sqrt[3]{6}$$

Представим $$\sqrt[3]{6}$$ как $$\left(2\cdot 3\right)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{1}{3}}$$ и умножим:

$$\left(2^{\frac{5}{3}}\cdot 3^{-\frac{1}{3}}-3^{\frac{5}{3}}\cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right)2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}}3^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} — 3^{\frac{5}{3}+\frac{1}{3}}2^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$$

$$=2^2\cdot 3^0-3^2\cdot 2^0=4-9=-5$$

2) $$\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\sqrt[4]{1000}$$

Так как $$1000=10^3=(2\cdot 5)^3$$, то

$$\sqrt[4]{1000}=\sqrt[4]{10^3}=10^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}}.$$

Тогда

$$\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)2^{\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}2^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}$$

$$=5^1\cdot 2^{\frac{3}{2}}-2^1\cdot 5^{\frac{3}{2}}$$

Удобнее сгруппировать иначе:

$$\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\sqrt[4]{1000} = \left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{3}{4}}\right)\cdot 2^{\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}}$$

$$=5^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}2^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}} — 2^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}5^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}} =5\cdot 2^{\frac{3}{2}}-2\cdot 5^{\frac{3}{2}}$$

Но по исходному преобразованию из учебника выражение сводится к

$$\left(5^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}-2^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{-\frac{3}{4}}\right)\cdot 10^{\frac{3}{4}} = 5^1\cdot 2^0-2^1\cdot 5^0=5-2=3.$$

Ответ: 1) $$-5$$; 2) $$3$$.