Упр.786 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) lim х- > 1(2х + 1) = 3;
2) lim х — > 2 х2 = 4.

1. Проверим равенство $$\lim_{x \to 1}(2x+1)=3.$$

   Пусть $$f(x)=2x+1$$, тогда

   $$|f(x)-3|=|2x+1-3|=|2x-2|=2|x-1|.$$

   Чтобы выполнялось $$|f(x)-3|<\varepsilon,$$ достаточно потребовать

   $$2|x-1|<\varepsilon,$$

   то есть

   $$|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}.$$

   Значит, можно взять $$\delta=\frac{\varepsilon}{2}.$$ Следовательно, равенство верно.

2. Проверим равенство $$\lim_{x \to 2}x^2=4.$$

   Пусть $$f(x)=x^2,$$ тогда

   $$|f(x)-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$

   Если $$|x-2|<\delta,$$ то

   $$|x+2|=|(x-2)+4|\le |x-2|+4<\delta+4.$$

   Тогда

   $$|x^2-4|=|x-2||x+2|<\delta(\delta+4).$$

   Выберем $$\delta$$ из уравнения

   $$\delta^2+4\delta=\varepsilon.$$

   Тогда

   $$\delta^2+4\delta-\varepsilon=0,$$

   $$\delta=-2+\sqrt{4+\varepsilon}.$$

   Так как $$\sqrt{4+\varepsilon}>2,$$ то $$\delta>0.$$ Следовательно, существует $$\delta,$$ удовлетворяющее определению предела, значит равенство верно.

Ответ

1) верно; 2) верно.