Упр.775 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin х > = cos х;
2) tg х > sin х.

1. $$\sin x \ge \cos x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sin x-\cos x\ge 0$$

   Представим разность через синус суммы:

   $$\sqrt2\left(\sin x\cdot \frac1{\sqrt2}-\cos x\cdot \frac1{\sqrt2}\right)\ge 0$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0$$

   Тогда

   $$2\pi n\le x-\frac{\pi}{4}\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\tg x>\sin x$$

   Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

   $$\tg x-\sin x>0$$

   $$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0$$

   $$\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x}>0$$

   $$\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}>0$$

   Так как $$1-\cos x\ge 0$$ и равно нулю только при $$x=2\pi n$$, то при $$x\ne 2\pi n$$ знак выражения определяется знаком $$\tg x$$ и условием $$1-\cos x>0$$. Получаем:

   $$\tg x>0,\qquad \cos x\ne 1$$

   Значит, нужно взять промежутки, где $$\tg x>0$$:

   $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Исключая точки, где $$\cos x=1$$, получаем окончательно:

   $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$-\pi+2\pi n<x<-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad -\pi+2\pi n<x<-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$