Упр.775 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство: 1) $$\sin x \ge \cos x$$; 2) $$\operatorname{tg} x > \sin x$$.

1) $$\sin x \ge \cos x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin x-\cos x\ge 0$$

Представим разность через синус суммы:

$$\sqrt2\left(\sin x\cdot \frac1{\sqrt2}-\cos x\cdot \frac1{\sqrt2}\right)\ge 0$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge 0$$

Синус неотрицателен при

$$2\pi n\le x-\frac{\pi}{4}\le \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\tg x>\sin x$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\tg x-\sin x>0$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0$$

$$\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x}>0$$

$$\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}>0$$

Так как $$1-\cos x\ge 0$$ и равно нулю только при $$x=2\pi n$$, то знак выражения определяется знаком $$\tg x$$. Поэтому нужно, чтобы

$$\tg x>0,\qquad \cos x\ne 0$$

Тангенс положителен в промежутках

$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ:

1) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$