Упр.774 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции:
   
   1) $$y=12\sin x-5\cos x$$;
   
   2) $$y=\cos^2 x-\sin x$$.

1) $$y=12\sin x-5\cos x.$$

Представим выражение в виде одной синусоиды:

$$12\sin x-5\cos x=13\left(\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x\right).$$

Так как $$\cos \varphi=\frac{12}{13}, \qquad \sin \varphi=\frac{5}{13},$$ то

$$\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x=\cos \varphi \sin x-\sin \varphi \cos x=\sin(x-\varphi).$$

Следовательно,

$$y=13\sin(x-\varphi).$$

Поскольку $$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$ получаем

$$-13\le y\le 13.$$

2) $$y=\cos^2 x-\sin x.$$

Положим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=1-\sin^2 x-\sin x=1-t^2-t.$$

Приведём к квадрату:

$$y=-\left(t^2+t-1\right)=-\left(\left(t+\frac12\right)^2-\frac54\right)=\frac54-\left(t+\frac12\right)^2.$$

Так как $$-1\le t\le 1,$$ то $$\left(t+\frac12\right)^2\ge 0,$$ а наибольшее значение достигается при $$t=-\frac12.$$

Минимум функции на отрезке $$[-1;1]$$ достигается при $$t=1$$:

$$y_{\min}=1-1-1=-1.$$

Максимум при $$t=-\frac12$$:

$$y_{\max}=1-\left(-\frac12\right)^2+\frac12=\frac54.$$

Значит, множество значений функции:

$$y\in\left[-1;\frac54\right].$$

Ответ

1) $$[-13;13]$$; 2) $$\left[-1;\frac54\right].$$