Упр.774 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у — 12 sin х — 5 cos х;
2) у = cos2 х — sin х.

1) Преобразуем выражение:

$$y=12\sin x-5\cos x.$$

Представим его в виде одной синусоиды:

$$12\sin x-5\cos x=13\left(\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x\right).$$

Так как

$$\cos \varphi=\frac{12}{13}, \qquad \sin \varphi=\frac{5}{13},$$

то

$$\frac{12}{13}\sin x-\frac{5}{13}\cos x=\sin(x-\varphi),$$

где $$\varphi=\arccos \frac{12}{13}.$$

Следовательно,

$$y=13\sin(x-\varphi).$$

Так как $$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$ то

$$-13\le y\le 13.$$

2) Рассмотрим функцию

$$y=\cos^2 x-\sin x.$$

Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$y=1-\sin^2 x-\sin x.$$

Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=1-t^2-t.$$

Приведём к квадрату:

$$y=-\left(t^2+t-1\right)=-\left(\left(t+\frac12\right)^2-\frac54\right)=\frac54-\left(t+\frac12\right)^2.$$

Так как $$-1\le t\le 1,$$ то $$\left(t+\frac12\right)^2\ge 0,$$ значит наибольшее значение функции равно $$\frac54.$$

Минимум достигается при $$t=1,$$ тогда

$$y=1-1-1=-1.$$

Значит,

$$-1\le y\le \frac54.$$

Ответ

1) $$y\in[-13;13]$$

2) $$y\in\left[-1;\frac54\right]$$