Упр.773 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$$;
2. $$y=\cos x-\sqrt{\cos 2x}$$.

1) $$y=2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Так как $$-1\le \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\le 2,$$

следовательно,

$$-4\le y\le 0.$$

Значит, область значений:

$$E(y)=[-4;0].$$

Период функции:

$$T=4\pi.$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

Нули функции найдём из уравнения:

$$2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)-2=0,$$

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимальные значения функции равны $$0,$$ они достигаются при

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимальные значения функции равны $$-4,$$ они достигаются при

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

График — синусоида с амплитудой $$2,$$ периодом $$4\pi$$ и сдвигом вниз на $$2.$$

2) $$y=\cos x-\sqrt{\cos^2 x}=\cos x-|\cos x|.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и

   $$y=\cos x-\cos x=0.$$

   Это выполняется при

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и

   $$y=\cos x+\cos x=2\cos x.$$

   Это выполняется при

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, график функции состоит из участков прямой $$y=0$$ там, где $$\cos x\ge 0,$$ и участков графика $$y=2\cos x$$ там, где $$\cos x<0.$$

Область значений:

$$-2\le y\le 0,$$ то есть $$E(y)=[-2;0].$$

Нули функции:

$$y=0 \iff \cos x\ge 0,$$

то есть

$$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимальные значения:

$$y=-2,$$ при

$$\cos x=-1,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$