Упр.772 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$x$$, при которых функция $$y=\operatorname{tg}2x-1$$ принимает отрицательные значения.

Рассмотрим неравенство

$$\tg 2x-1<0.$$

Тогда

$$\tg 2x<1.$$

Функция $$\tg t$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, поэтому

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\arctg 1+\pi n.$$

Так как $$\arctg 1=\frac{\pi}{4},$$ получаем

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Делим все части неравенства на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$