Упр.771 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$x$$, при которых функция $$y=1{,}5-2\sin2x/2$$ принимает положительные значения.

$$y=1{,}5-2\sin^2\frac{x}{2}$$

Используем формулу $$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$:

$$y=1{,}5-2\cdot \frac{1-\cos x}{2}=1{,}5-(1-\cos x)=\frac12+\cos x.$$

Тогда нужно решить неравенство

$$\frac12+\cos x>0,$$

то есть

$$\cos x>-\frac12.$$

Косинус больше $$-\frac12$$ на промежутке

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$