Упр.766 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $$y=\cos^4 x-\sin^4 x$$;
2) $$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
3) $$y=1-2\left|\sin 3x\right|$$;
4) $$y=\sin^2 x-2\cos^2 x$$.
$$y=\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x.$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$
$$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
Используем формулу:
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\left(\sin^2 x-\cos^2 x\right)=-\frac12\cos 2x.$$
Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ получаем
$$-\frac12\le y\le \frac12.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac12,\qquad y_{\max}=\frac12.$$
$$y=1-2|\sin 3x|.$$
Так как $$0\le |\sin 3x|\le 1,$$ то
$$-2\le -2|\sin 3x|\le 0.$$
Прибавим 1:
$$-1\le 1-2|\sin 3x|\le 1.$$
Значит,
$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$
$$y=\sin^2 x-2\cos^2 x.$$
Преобразуем:
$$y=(1-\cos^2 x)-2\cos^2 x=1-3\cos^2 x.$$
Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то
$$0\le 3\cos^2 x\le 3,$$
следовательно,
$$-3\le -3\cos^2 x\le 0.$$
Прибавим 1:
$$-2\le 1-3\cos^2 x\le 1.$$
Значит,
$$y_{\min}=-2,\qquad y_{\max}=1.$$
