Упр.765 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции: 1) $$y=\operatorname{tg}\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$; 2) $$y=\sqrt{\operatorname{tg}x}$$.

1) Для функции $$y=\tg\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$$ выражение имеет смысл, когда аргумент тангенса не равен $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$2x+\frac{\pi}{6}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$2x\ne \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

$$x\ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, область определения:

$$D=\mathbb R\setminus \left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

2) Для функции $$y=\sqrt{\tg x}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$\tg x\ge 0.$$

Тангенс неотрицателен на промежутках

$$\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Значит, область определения:

$$D=\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$D=\mathbb R\setminus \left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\mid n\in\mathbb Z\right\}.$$

2) $$D=\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\; n\in\mathbb Z.$$