Упр.763 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку $$[-2\pi;\,-\pi]$$:
- 1) $$1+2\cos x\geq 0$$; 2) $$1-2\sin x<0$$; 3) $$2+\operatorname{tg}x>0$$; 4) $$1-2\operatorname{tg}x\leq 0$$.
1) $$1+2\cos x\ge 0$$
$$2\cos x\ge -1$$
$$\cos x\ge -\frac12$$
На промежутке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ это выполняется при
$$x\in\left[-2\pi;\,-\frac{4\pi}{3}\right].$$
2) $$1-2\sin x<0$$
$$-2\sin x<-1$$
$$\sin x>\frac12$$
На промежутке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ получаем
$$x\in\left(-\frac{11\pi}{6};\,-\frac{7\pi}{6}\right).$$
3) $$2+\tg x>0$$
$$\tg x>-2$$
Решение уравнения $$\tg x=-2$$:
$$x=-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ получаем
$$x\in\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 2-\pi;\,-\pi\right].$$
4) $$1-2\tg x\le 0$$
$$-2\tg x\le -1$$
$$\tg x\ge \frac12$$
Решение уравнения $$\tg x=\frac12$$:
$$x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ получаем
$$x\in\left[\arctg\frac12-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right).$$
Ответ
1) $$\left[-2\pi;\,-\frac{4\pi}{3}\right]$$
2) $$\left(-\frac{11\pi}{6};\,-\frac{7\pi}{6}\right)$$
3) $$\left[-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 2-\pi;\,-\pi\right]$$
4) $$\left[\arctg\frac12-2\pi;\,-\frac{3\pi}{2}\right)$$
