Упр.759 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = 1-2 sin2 х;
2) у = 2 cos2 х — 1;
3) у = 3-2 sin2 х;
4) у = 2 cos2 х + 5;
5) у = cos Зх sin х — sin 3х cos х + 4;
6) у = cos 2х cos х + sin 2х sin х — 3.

Подробный ответ

$$y=1-2\sin^2 x$$
Так как $$-1\le \sin x \le 1,$$ то $$0\le \sin^2 x \le 1.$$
Тогда
$$0\le 2\sin^2 x \le 2,$$
$$-1\le 1-2\sin^2 x \le 1.$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$
$$y=2\cos^2 x-1$$
Так как $$-1\le \cos x \le 1,$$ то $$0\le \cos^2 x \le 1.$$
Тогда
$$0\le 2\cos^2 x \le 2,$$
$$-1\le 2\cos^2 x-1\le 1.$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$
$$y=3-2\sin^2 x$$
Так как $$0\le \sin^2 x \le 1,$$ то $$0\le 2\sin^2 x \le 2.$$
Тогда
$$1\le 3-2\sin^2 x \le 3.$$
Следовательно, $$E(y)=[1;3].$$
$$y=2\cos^2 x+5$$
Так как $$0\le \cos^2 x \le 1,$$ то $$0\le 2\cos^2 x \le 2.$$
Тогда
$$5\le 2\cos^2 x+5\le 7.$$
Следовательно, $$E(y)=[5;7].$$
$$y=\cos 3x\cdot \sin x-\sin 3x\cdot \cos x+4$$
Используем формулу:
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta.$$
Тогда
$$\cos 3x\cdot \sin x-\sin 3x\cdot \cos x=-\bigl(\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x\bigr)=-\sin(3x-x)=-\sin 2x.$$
Значит,
$$y=4-\sin 2x.$$
Так как $$-1\le \sin 2x \le 1,$$ то
$$3\le 4-\sin 2x \le 5.$$
Следовательно, $$E(y)=[3;5].$$
$$y=\cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x\cdot \sin x-3$$
Используем формулу:
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta.$$
Тогда
$$\cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x\cdot \sin x=\cos(2x-x)=\cos x.$$
Значит,
$$y=\cos x-3.$$
Так как $$-1\le \cos x \le 1,$$ то
$$-4\le \cos x-3\le -2.$$
Следовательно, $$E(y)=[-4;-2].$$