Упр.758 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = sin х + cos х;
2) у = sin х + tgx;
3) y= корень sinx;
4) y= корень cosx;
5) y=2x/(2sinx -1);
6) y=cosx/(2sin2x- sinx).

1. $$y=\sin x+\cos x$$

   Синус и косинус определены при всех действительных значениях $x$, значит

   $$D(y)=\mathbb{R}.$$

2. $$y=\sin x+\tg x$$

   Тангенс не определён при

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

3. $$y=\sqrt{\sin x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\sin x\ge 0.$$

   Это выполняется при

   $$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$y=\sqrt{\cos x}$$

   Нужно, чтобы

   $$\cos x\ge 0.$$

   Тогда

   $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

5. $$y=\frac{2x}{2\sin x-1}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2\sin x-1\ne 0,$$

   $$\sin x\ne \frac12.$$

   Отсюда

   $$x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

6. $$y=\frac{\cos x}{2\sin^2 x-\sin x}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$2\sin^2 x-\sin x\ne 0,$$

   $$\sin x(2\sin x-1)\ne 0.$$

   Значит, одновременно должны выполняться условия

   $$\sin x\ne 0,$$

   $$\sin x\ne \frac12.$$

   Следовательно,

   $$x\ne \pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb{R}.$$

2) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

3) $$D(y)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

4) $$D(y)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

5) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$

6) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\pi n,\ \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}.$$