Упр.758 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти область определения функции:
- $$y=\sin x+\cos x$$;
- $$y=\sin x+\tan x$$;
- $$y=\sqrt{\sin x}$$;
- $$y=\sqrt{\cos x}$$;
- $$y=\frac{2x}{2\sin x-1}$$;
- $$y=\frac{\cos x}{2\sin 2x-\sin x}$$.
1) Для функции $$y=\sin x+\cos x$$ ограничений нет, так как синус и косинус определены при всех действительных значениях аргумента.
$$D(y)=\mathbb{R}.$$
2) Для функции $$y=\sin x+\tg x$$ нужно, чтобы была определена тангенс-функция:
$$\cos x\ne 0.$$
Значит,
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
3) Для функции $$y=\sqrt{\sin x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$\sin x\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb{Z}.$$
4) Для функции $$y=\sqrt{\cos x}$$ требуется
$$\cos x\ge 0.$$
Следовательно,
$$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.$$
5) Для функции $$y=\frac{2x}{2\sin x-1}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$2\sin x-1\ne 0,$$
$$\sin x\ne \frac12.$$
Решения уравнения $$\sin x=\frac12$$ имеют вид
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Значит,
$$x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
6) Для функции $$y=\frac{\cos x}{2\sin^2 x-\sin x}$$ знаменатель должен быть отличен от нуля:
$$2\sin^2 x-\sin x\ne 0,$$
$$\sin x(2\sin x-1)\ne 0.$$
Отсюда получаем два ограничения:
$$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$
$$\sin x\ne \frac12 \quad \Rightarrow \quad x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\; x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
1) $$D(y)=\mathbb{R}.$$
2) $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
3) $$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\; n\in\mathbb{Z}.$$
4) $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\; n\in\mathbb{Z}.$$
5) $$x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\; x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
6) $$x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\; x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
