Упр.757 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что график функции $$y=\arccos x$$ симметричен относительно точки $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$f(-x)=\arccos(-x)-\frac{\pi}{2}.$$

Так как $$\arccos(-x)=\pi-\arccos x,$$ получаем

$$f(-x)=\pi-\arccos x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-\arccos x=-\left(\arccos x-\frac{\pi}{2}\right)=-f(x).$$

Следовательно, функция $$f(x)$$ нечётная, а её график симметричен относительно начала координат.

Но график $$y=f(x)$$ получен из графика $$y=\arccos x$$ параллельным переносом вниз на $$\frac{\pi}{2}$$. Значит, исходный график $$y=\arccos x$$ симметричен относительно точки $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ: график функции $$y=\arccos x$$ симметричен относительно точки $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$