Упр.756 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=\arcsin(x-3)/2$$;
2. $$y=\arccos(2-3x)$$;
3. $$y=\arccos(2\sqrt{x})$$;
4. $$y=\arcsin(2x-5)/3$$.

1) Для функции $$y=\arcsin\frac{x-3}{2}$$ аргумент арксинуса должен удовлетворять условию

$$-1\le \frac{x-3}{2}\le 1.$$

Умножим неравенство на $$2$$:

$$-2\le x-3\le 2.$$

Прибавим $$3$$ к каждой части:

$$1\le x\le 5.$$

2) Для функции $$y=\arccos(2-3x)$$ должно выполняться

$$-1\le 2-3x\le 1.$$

Вычтем $$2$$:

$$-3\le -3x\le -1.$$

Делим на $$-3$$, меняя знаки неравенств:

$$1\ge x\ge \frac13,$$

то есть

$$\frac13\le x\le 1.$$

3) Для функции $$y=\arccos(2\sqrt{x}-3)$$ нужно, чтобы

$$-1\le 2\sqrt{x}-3\le 1,$$

а также $$x\ge 0$$.

Из неравенства получаем:

$$2\le 2\sqrt{x}\le 4,$$

$$1\le \sqrt{x}\le 2,$$

$$1\le x\le 4.$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем ту же область определения:

$$1\le x\le 4.$$

4) Для функции $$y=\arcsin\frac{2x^2-5}{3}$$ должно быть

$$-1\le \frac{2x^2-5}{3}\le 1.$$

Умножим на $$3$$:

$$-3\le 2x^2-5\le 3.$$

Прибавим $$5$$:

$$2\le 2x^2\le 8.$$

Делим на $$2$$:

$$1\le x^2\le 4.$$

Отсюда

$$-2\le x\le -1$$

или

$$1\le x\le 2.$$

Ответ

1) $$x\in[1;5]$$; 2) $$x\in\left[\frac13;1\right]$$; 3) $$x\in[1;4]$$; 4) $$x\in[-2;-1]\cup[1;2]$$.