Упр.755 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{arctg}\frac{1-x}{4}=\frac{\pi}{3}$$
2. $$\operatorname{arctg}(2x+1)=-\frac{\pi}{3}$$
3. $$\operatorname{arctg}\frac{1+2x}{3}=\frac{\pi}{4}$$
4. $$\operatorname{arctg}(2-3x)=-\frac{\pi}{4}$$

1) $$\arctg\frac{1-x}{4}=\frac{\pi}{3}$$

Так как $$\frac{\pi}{3}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то по определению арктангенса

$$\frac{1-x}{4}=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$1-x=4\sqrt{3},$$

откуда

$$x=1-4\sqrt{3}.$$

Ответ: $$x=1-4\sqrt{3}.$$

2) $$\arctg\frac{1+2x}{3}=\frac{\pi}{4}$$

Так как $$\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то

$$\frac{1+2x}{3}=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$

Следовательно,

$$1+2x=3,$$

$$2x=2,$$

$$x=1.$$

Ответ: $$x=1.$$

3) $$\arctg(2x+1)=-\frac{\pi}{3}$$

Так как $$-\frac{\pi}{3}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то

$$2x+1=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$

Тогда

$$2x=-1-\sqrt{3},$$

откуда

$$x=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $$x=-\frac{1+\sqrt{3}}{2}.$$

4) $$\arctg(2-3x)=-\frac{\pi}{4}$$

Так как $$-\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то

$$2-3x=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Следовательно,

$$3x=3,$$

$$x=1.$$

Ответ: $$x=1.$$