Упр.749 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\operatorname{tg}2x<1$$;
2. $$\operatorname{tg}2x\geqslant 3$$;
3. $$\operatorname{ctg}x\geqslant -1$$;
4. $$\operatorname{ctg}x>\sqrt{3}$$.

1) $$\tg^2 x<1$$

Так как $$\tg^2 x<1 \iff -1<\tg x<1,$$ то решаем два неравенства:

$$-1<\tg x<1 \\\\ -\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

2) $$\tg^2 x\ge 3$$

Имеем:

$$\tg^2 x\ge 3 \iff \tg x\le -\sqrt3 \ \text{или}\ \tg x\ge \sqrt3.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

или

$$\frac{\pi}{3}+\pi k\le x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3) $$\ctg x\ge -1$$

На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\ctg x$$ убывает, поэтому

$$\ctg x\ge -1 \iff \pi k<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) $$\ctg x>\sqrt3$$

На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\ctg x$$ убывает, значит

$$\ctg x>\sqrt3 \iff \pi k<x<\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$1)\ -\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$
$$2)\ -\frac{\pi}{2}+\pi k<x\le -\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad \frac{\pi}{3}+\pi k\le x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$
$$3)\ \pi k<x\le \frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$
$$4)\ \pi k<x<\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$