Упр.748 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) y=ctg(3(x+пи/6).

1. $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   а) Область определения:

   $$3x-\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$3x\ne \frac{3\pi}{4}+\pi n$$
   $$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}$$

   б) Область значений:

   $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$

   в) Период функции:

   $$\tg\left(3(x+T)-\frac{\pi}{4}\right)=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$
   $$3T=\pi$$
   $$T=\frac{\pi}{3}$$

   г) Функция ни чётная, ни нечётная:

   $$y(-x)=\tg\left(-3x-\frac{\pi}{4}\right)\ne y(x),\qquad y(-x)\ne -y(x)$$

   д) Нули функции:

   $$\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
   $$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$

2. $$y=\ctg\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=\ctg\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=-\tg 3x$$

   а) Область определения:

   $$3x+\frac{\pi}{2}\ne \pi n$$
   $$x\ne \frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{6}$$

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{6}\mid n\in\mathbb{Z}\right\}$$

   б) Область значений:

   $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$

   в) Период функции:

   $$-\tg\bigl(3(x+T)\bigr)=-\tg(3x)$$
   $$3T=\pi$$
   $$T=\frac{\pi}{3}$$

   г) Функция нечётная:

   $$y(-x)=-\tg(-3x)=\tg 3x=-y(x)$$

   д) Нули функции:

   $$-\tg 3x=0$$
   $$\tg 3x=0$$
   $$3x=\pi n$$
   $$x=\frac{\pi n}{3}$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}\mid n\in\mathbb{Z}\right\},\quad E(y)=(-\infty;+\infty),\quad T=\frac{\pi}{3},\quad \text{функция ни чётная, ни нечётная},\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$
2) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{6}\mid n\in\mathbb{Z}\right\},\quad E(y)=(-\infty;+\infty),\quad T=\frac{\pi}{3},\quad \text{функция нечётная},\quad x=\frac{\pi n}{3}.$$