Упр.748 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$y=\operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
- $$y=\operatorname{ctg}\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)$$.
1) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$
а) Область определения:
$$3x-\frac{\pi}{4}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$3x\ne \frac{3\pi}{4}+\pi n$$
$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$
Значит,
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}\right\},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) Область значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
в) Период функции:
Для функции $$y=\tg(3x-\frac{\pi}{4})$$ период равен
$$T=\frac{\pi}{3}.$$
г) Функция ни чётная, ни нечётная:
$$y(-x)=\tg\left(-3x-\frac{\pi}{4}\right)\ne y(x),\qquad y(-x)\ne -y(x).$$
д) Нули функции:
$$\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
График — это график $$y=\tg x$$, сжатый в 3 раза по оси $$Ox$$ и сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{12}$$.
2) $$y=\ctg\left(3\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)=\ctg\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)=-\tg 3x$$
а) Область определения:
$$3x+\frac{\pi}{2}\ne \pi n$$
$$x\ne \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\right\},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) Область значений:
$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
в) Период функции:
$$T=\frac{\pi}{3}.$$
г) Функция нечётная:
$$y(-x)=-\tg(-3x)=\tg 3x=-y(x).$$
д) Нули функции:
$$-\tg 3x=0$$
$$\tg 3x=0$$
$$3x=\pi n$$
$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
График — это график $$y=-\tg 3x$$, то есть график $$y=\tg x$$, сжатый в 3 раза по оси $$Ox$$, отражённый относительно оси $$Ox$$.
Ответ: для обеих функций область значений $$(-\infty;+\infty)$$, период $$\frac{\pi}{3}$$; у первой функции нули $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$, у второй — $$x=\frac{\pi n}{3}$$.
