Упр.747 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=\operatorname{tg}x\operatorname{ctg}x$$
2. $$y=\sin x\operatorname{ctg}x$$

1) $$y=\tg x\cdot \ctg x=\tg x\cdot \frac{1}{\tg x}=1.$$

Но функция определена только при тех значениях $$x,$$ при которых существуют и $$\tg x,$$ и $$\ctg x.$$ Поэтому

$$x\ne \frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

График — прямая $$y=1$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$y=\sin x\cdot \ctg x=\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=\cos x.$$

При этом область определения задаётся условием существования $$\ctg x$$:

$$x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно, график функции совпадает с графиком $$y=\cos x,$$ но точки при $$x=\pi n$$ выколоты.

Основные свойства:

• $$E(y)=[-1;1];$$
• период $$T=2\pi;$$
• функция чётная, так как $$y(-x)=\cos(-x)=\cos x=y(x);$$
• нули функции: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z;$$
• наибольшее значение: $$1,$$ при $$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z;$$
• наименьшее значение: $$-1,$$ при $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$y=1,\quad x\ne \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\cos x,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$