Упр.746 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 746. Построить график функции: 1) $$y=\operatorname{tg}|x|$$; 2) $$y=|\operatorname{tg}x|$$; 3) $$y=\operatorname{ctg}x$$; 4) $$y=\frac{1}{\operatorname{ctg}x}$$.
1) Для функции $$y=\tg|x|$$ имеем:
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\},$$
$$E(y)=(-\infty;+\infty),$$
$$T=\pi,$$
$$y(-x)=\tg|-x|=\tg|x|=y(x),$$
то есть функция чётная.
Нули функции:
$$\tg|x|=0 \;\Rightarrow\; |x|=\pi n \;\Rightarrow\; x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
График получается из графика $$y=\tg x$$ заменой отрицательной части на симметричную относительно оси $$Oy$$.
2) Для функции $$y=|\tg x|$$ имеем:
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\},$$
$$E(y)=[0;+\infty),$$
$$T=\pi,$$
$$y(-x)=|\tg(-x)|=|-\tg x|=|\tg x|=y(x),$$
то есть функция чётная.
Нули функции:
$$|\tg x|=0 \;\Rightarrow\; \tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
График получается из графика $$y=\tg x$$ отражением отрицательных ветвей относительно оси $$Ox$$.
3) Для функции $$y=\ctg x$$ имеем:
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\},$$
$$E(y)=(-\infty;+\infty),$$
$$T=\pi,$$
$$y(-x)=\ctg(-x)=-\ctg x=-y(x),$$
то есть функция нечётная.
Нули функции:
$$\ctg x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
График можно получить из графика $$y=\tg x$$ сдвигом на $$\frac{\pi}{2}$$ вправо и отражением относительно оси $$Ox$$.
4) Для функции $$y=\frac{1}{\ctg x}$$ получаем:
$$y=\tg x.$$
Следовательно,
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\},$$
$$E(y)=(-\infty;+\infty),$$
$$T=\pi,$$
$$y(-x)=\tg(-x)=-\tg x=-y(x),$$
то есть функция нечётная.
Нули функции:
$$\tg x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
График совпадает с графиком функции $$y=\tg x$$.
Ответ
1) $$y=\tg|x|$$ — чётная, период $$\pi$$, $$D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\right\}$$, нули $$x=\pi n$$.
2) $$y=|\tg x|$$ — чётная, период $$\pi$$, $$D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\right\}$$, $$E=[0;+\infty)$$, нули $$x=\pi n$$.
3) $$y=\ctg x$$ — нечётная, период $$\pi$$, $$D=\mathbb{R}\setminus\{\pi n\}$$, нули $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.
4) $$y=\frac{1}{\ctg x}=\tg x$$ — нечётная, период $$\pi$$, $$D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\right\}$$, нули $$x=\pi n$$.
