Упр.745 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции $$y=\operatorname{tg}x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку:
   1) $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$;
   2) $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$;
   3) $$\left(0;\pi\right)$$;
   4) $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$.

1) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\tg x$$ монотонно возрастает, значит её наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка:

$$y_{\min}=\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,\qquad y_{\max}=\tg\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.$$

Ответ: $$[-1;\sqrt{3}]$$

2) На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция $$y=\tg x$$ возрастает и имеет разрыв при $$x=\frac{\pi}{2}$$. Поэтому:

при $$x\to \frac{3\pi}{4}+0$$ получаем $$y\to -1$$, а при $$x\to \frac{\pi}{2}-0$$ и $$x\to \frac{\pi}{2}+0$$ значения функции неограниченно возрастают.

Ответ: $$(-1;+\infty)$$

3) На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$y=\tg x$$ имеет разрыв в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$. Рассмотрим два промежутка:

$$\left(0;\frac{\pi}{2}\right): \quad y\in (0;+\infty),$$

$$\left(\frac{\pi}{2};\pi\right): \quad y\in (-\infty;0).$$

Следовательно, множество значений:

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

4) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция $$y=\tg x$$ имеет разрыв при $$x=\frac{\pi}{2}$$. Тогда:

на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем $$y\in [1;+\infty),$$

на $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right]$$ получаем $$y\in (-\infty;-1].$$

Итак,

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$