Упр.744 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции и выяснить её свойства: 1) $$y=\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$; 2) $$y=\frac{\operatorname{tg}x}{2}$$.

1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Так как у функции $$y=\tg x$$ период равен $$\pi$$, то график $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ получается сдвигом графика $$y=\tg x$$ влево на $$\frac{\pi}{4}$$.

Свойства функции:

• область определения: $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• период функции: $$T=\pi$$;
• функция не является ни чётной, ни нечётной;
• нули функции: $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• возрастает при $$-\frac{3\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• положительна при $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• отрицательна при $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$.

2) $$y=\tg\frac{x}{2}$$

График функции $$y=\tg\frac{x}{2}$$ получается растяжением графика $$y=\tg x$$ вдоль оси $$x$$ в 2 раза.

Свойства функции:

• область определения: $$x\ne \pi+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• период функции: $$T=2\pi$$;
• функция нечётная;
• нули функции: $$\tg\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• возрастает при $$-\pi+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• положительна при $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• отрицательна при $$-\pi+2\pi n<x<2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$.

Ответ

1) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$: $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\pi n\right\}$$, $$E(y)=\mathbb{R}$$, период $$\pi$$, функция ни чётная, ни нечётная, нули $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$, возрастает на $$\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right)$$.

2) $$y=\tg\frac{x}{2}$$: $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{\pi+2\pi n\right\}$$, $$E(y)=\mathbb{R}$$, период $$2\pi$$, функция нечётная, нули $$x=2\pi n$$, возрастает на $$\left(-\pi+2\pi n;\pi+2\pi n\right)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.