Упр.741 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти все решения неравенств, принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$:
- $$\tg x \geq 3$$;
- $$\tg x < 4$$;
- $$\tg x \leq -4$$;
- $$\tg x > -3$$.
1) $$\tg x \ge 3$$
Общее решение неравенства:
$$\arctg 3+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:
$$\arctg 3 \le x \le \frac{\pi}{2},$$
$$\arctg 3+\pi \le x < \frac{3\pi}{2},$$
$$\arctg 3+2\pi \le x < \frac{5\pi}{2}.$$
2) $$\tg x < 4$$
Общее решение неравенства:
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:
$$0 \le x < \arctg 4,$$
$$\frac{\pi}{2} < x < \arctg 4+\pi,$$
$$\frac{3\pi}{2} < x < \arctg 4+2\pi,$$
$$\frac{5\pi}{2} < x \le 3\pi.$$
3) $$\tg x \le -4$$
Общее решение неравенства:
$$\frac{\pi}{2}+\pi n < x \le -\arctg 4+\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:
$$\frac{\pi}{2} < x \le -\arctg 4+\pi,$$
$$\frac{3\pi}{2} < x \le -\arctg 4+2\pi,$$
$$\frac{5\pi}{2} < x \le -\arctg 4+3\pi.$$
4) $$\tg x > -3$$
Общее решение неравенства:
$$-\arctg 3+\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:
$$0 \le x < \frac{\pi}{2},$$
$$-\arctg 3+\pi < x < \frac{3\pi}{2},$$
$$-\arctg 3+2\pi < x < \frac{5\pi}{2}.$$
Ответ
1) $$x\in\left[\arctg 3;\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\arctg 3+\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[\arctg 3+2\pi;\frac{5\pi}{2}\right)$$;
2) $$x\in\left[0;\arctg 4\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\arctg 4+\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\arctg 4+2\pi\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2};3\pi\right]$$;
3) $$x\in\left(\frac{\pi}{2};-\arctg 4+\pi\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2};-\arctg 4+2\pi\right]\cup\left(\frac{5\pi}{2};-\arctg 4+3\pi\right]$$;
4) $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 3+\pi;\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\arctg 3+2\pi;\frac{5\pi}{2}\right).$$
