Упр.740 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство: 1) $$\operatorname{tg} x > 4$$; 2) $$\operatorname{tg} x \leq 5$$; 3) $$\operatorname{tg} x < -4$$; 4) $$\operatorname{tg} x \geq -5$$.

Рассмотрим функцию $$y=\tg x$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$ На этом промежутке она возрастает, поэтому каждое неравенство решается сравнением с соответствующим значением арктангенса, а затем учитывается периодичность $$\pi.$$

1. $$\tg x>4$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(\arctg 4;\frac{\pi}{2}\right).$$

   С учётом периода $$\pi$$:

   $$x\in\left(\arctg 4+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg x\le 5$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\arctg 5\right].$$

   С учётом периода $$\pi$$:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\arctg 5+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x<-4$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\arctg 4\right).$$

   С учётом периода $$\pi$$:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\arctg 4+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg x\ge -5$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left[-\arctg 5;\frac{\pi}{2}\right).$$

   С учётом периода $$\pi$$:

   $$x\in\left[-\arctg 5+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x\in\left(\arctg 4+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\arctg 5+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z.$$

3) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;-\arctg 4+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

4) $$x\in\left[-\arctg 5+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$