Упр.738 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство: 1) $$\operatorname{tg} x > 1$$; 2) $$\operatorname{tg} x \leq \sqrt{3}$$; 3) $$\operatorname{tg} x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$$; 4) $$\operatorname{tg} x > -1$$.

Используем монотонность функции $$\tg x$$ на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

Ход решения

1. $$\tg x<1$$

   На основном промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\tg x<1$$ при

   $$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{4}.$$

   С учётом периодичности:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg x\ge \sqrt{3}$$

   Так как $$\arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3},$$ то на основном промежутке

   $$\frac{\pi}{3}\le x<\frac{\pi}{2}.$$

   С учётом периодичности:

   $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x\le -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Так как $$\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\pi}{6},$$ то на основном промежутке

   $$-\frac{\pi}{2}<x\le -\frac{\pi}{6}.$$

   С учётом периодичности:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg x>-1$$

   Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$ то на основном промежутке

   $$-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}.$$

   С учётом периодичности:

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

3) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+\pi k\right],\ k\in\mathbb Z.$$

4) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$