Упр.737 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\pi; 2\pi)$$:
1) $$\operatorname{tg} x \geq 1$$;
2) $$\operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$$;
3) $$\operatorname{tg} x < -1$$;
4) $$\operatorname{tg} x \geq -\sqrt{3}$$.
Рассмотрим каждое неравенство на промежутке $$(-\pi;2\pi).$$
$$\tg x \ge 1.$$
Значение $$\tg x=1$$ достигается при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$ а на каждом промежутке возрастания тангенса получаем
$$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ это даёт:
$$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right).$$
$$\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Так как $$\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},$$ то
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:
$$\left(-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right).$$
$$\tg x < -1.$$
Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$ то
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < -\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ имеем:
$$\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right).$$
$$\tg x \ge -\sqrt{3}.$$
Так как $$\arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3},$$ то
$$-\frac{\pi}{3}+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:
$$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{3};2\pi\right).$$
Ответ:
1) $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right);$$
2) $$\left(-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right);$$
3) $$\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}\right);$$
4) $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[\frac{5\pi}{3};2\pi\right).$$
