Упр.736 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\pi; 2\pi)$$:

1. а) $$\operatorname{tg} x=1$$; б) $$\operatorname{tg} x=\sqrt{3}$$; в) $$\operatorname{tg} x=-\sqrt{3}$$; г) $$\operatorname{tg} x=-1$$.

Для уравнения $$\tg x = a$$ общий вид решений:

$$x=\arctg a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

1. $$\tg x=1$$

   $$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$x=-\frac{3\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}.$$

2. $$\tg x=\sqrt{3}$$

   $$x=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$x=-\frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$

3. $$\tg x=-\sqrt{3}$$

   $$x=-\arctg \sqrt{3}+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}.$$

4. $$\tg x=-1$$

   $$x=-\arctg 1+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   На промежутке $$(-\pi;2\pi)$$ получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$

Ответ:

1) $$-\frac{3\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}$$; 2) $$-\frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}$$; 3) $$-\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}$$; 4) $$-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$.