Упр.735 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

С помощью свойства возрастания функции $$y=\tg x$$ сравнить числа:

1) $$\tg\frac{\pi}{5}$$ и $$\tg\frac{\pi}{7}$$;
2) $$\tg\frac{7\pi}{8}$$ и $$\tg\frac{8\pi}{9}$$;
3) $$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)$$ и $$\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right)$$;
4) $$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)$$ и $$\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right)$$;
5) $$\tg 2$$ и $$\tg 3$$;
6) $$\tg 1$$ и $$\tg 1{,}5$$.

Функция $$y=\tg x$$ возрастает на каждом промежутке вида $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$

1. $$\frac{\pi}{5}>\frac{\pi}{7},$$ а числа $$\frac{\pi}{5}$$ и $$\frac{\pi}{7}$$ лежат на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

   Значит, $$\tg\frac{\pi}{5}>\tg\frac{\pi}{7}.$$

2. $$\frac{7\pi}{8}<\frac{8\pi}{9},$$ и оба числа принадлежат промежутку $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Следовательно, $$\tg\frac{7\pi}{8}<\tg\frac{8\pi}{9}.$$

3. $$-\frac{7\pi}{8}>-\frac{8\pi}{9},$$ а числа $$-\frac{7\pi}{8}$$ и $$-\frac{8\pi}{9}$$ лежат на промежутке $$\left(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right).$$

   Так как $$\tg x$$ возрастает, то $$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)>\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right).$$

4. $$-\frac{\pi}{5}>-\frac{\pi}{7},$$ и оба числа принадлежат промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

   Значит, $$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)>\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right).$$

5. $$2<3,$$ а числа $$2$$ и $$3$$ лежат на промежутке $$\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Следовательно, $$\tg 2<\tg 3.$$

6. $$1<1{,}5,$$ и оба числа принадлежат промежутку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

   Значит, $$\tg 1<\tg 1{,}5.$$

Ответ: 1) $$\tg\frac{\pi}{5}>\tg\frac{\pi}{7}$$; 2) $$\tg\frac{7\pi}{8}<\tg\frac{8\pi}{9}$$; 3) $$\tg\left(-\frac{7\pi}{8}\right)>\tg\left(-\frac{8\pi}{9}\right)$$; 4) $$\tg\left(-\frac{\pi}{5}\right)>\tg\left(-\frac{\pi}{7}\right)$$; 5) $$\tg 2<\tg 3$$; 6) $$\tg 1<\tg 1{,}5$$.