Упр.732 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой $$I=A\sin(\omega t+\varphi)$$, где $$A$$ — амплитуда колебания, $$\omega$$ — частота, $$\varphi$$ — начальная фаза. Построить график этой функции, если:
1) $$A=2$$, $$\omega=1$$, $$\varphi=\frac{\pi}{4}$$;
2) $$A=1$$, $$\omega=2$$, $$\varphi=\frac{\pi}{3}$$.
1) При $$A=2,\ \omega=1,\ \varphi=\frac{\pi}{4}$$ получаем
$$I=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$
Это синусоида с амплитудой $$2$$ и периодом
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi.$$
Область значений:
$$-2\le I\le 2.$$
Нули функции находятся из уравнения
$$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$
откуда
$$t+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Максимумы достигаются при
$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
то есть
$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$
а минимумы — при
$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
то есть
$$t=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
График — синусоида, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{4}$$ и растянутая по оси $$I$$ в 2 раза.
2) При $$A=1,\ \omega=2,\ \varphi=\frac{\pi}{3}$$ получаем
$$I=\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right).$$
Это синусоида с амплитудой $$1$$ и периодом
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi.$$
Область значений:
$$-1\le I\le 1.$$
Нули функции находятся из уравнения
$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=0,$$
откуда
$$2t+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$t=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$
Максимумы достигаются при
$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=1,$$
то есть
$$2t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$t=\frac{\pi}{12}+\pi n.$$
Минимумы достигаются при
$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$
то есть
$$2t+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$t=-\frac{5\pi}{12}+\pi n.$$
График — синусоида с амплитудой $$1$$ и периодом $$\pi$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{6}$$.
Ответ
1) $$I=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right),\quad T=2\pi,\quad E(I)=[-2;2].$$
2) $$I=\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right),\quad T=\pi,\quad E(I)=[-1;1].$$
