Упр.732 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

I = A sin (wf + фи),
где А — амплитуда колебания, w — частота, фи — начальная фаза. Построить график этой функции, если:
1) A=2, w=1, фи=пи/4;
2 A=1, w=2, фи=пи/3.

1) При $$A=2,$$ $$\omega=1,$$ $$\varphi=\frac{\pi}{4}$$ получаем

$$I=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Это синусоида с амплитудой $$2$$ и периодом $$T=2\pi.$$

Область определения: $$D(I)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений: $$-2\le I\le 2,$$ то есть $$E(I)=[-2;2].$$

Нули функции:

$$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

$$t+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Максимумы достигаются при

$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

откуда

$$t+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Минимумы достигаются при

$$\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

откуда

$$t+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$t=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

По этим точкам строится график синусоиды.

2) При $$A=1,$$ $$\omega=2,$$ $$\varphi=\frac{\pi}{3}$$ получаем

$$I=\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right).$$

Это синусоида с амплитудой $$1$$ и периодом $$T=\pi.$$

Область определения: $$D(I)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений: $$-1\le I\le 1,$$ то есть $$E(I)=[-1;1].$$

Нули функции:

$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$2t+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$t=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Максимумы достигаются при

$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=1,$$

откуда

$$2t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$t=\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Минимумы достигаются при

$$\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right)=-1,$$

откуда

$$2t+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$t=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

По этим точкам строится график синусоиды.

Ответ

1) $$I=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right),\quad T=2\pi,\quad E(I)=[-2;2].$$

2) $$I=\sin\left(2t+\frac{\pi}{3}\right),\quad T=\pi,\quad E(I)=[-1;1].$$