Упр.730 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции $$y=\sin x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку: 1) $$\left[\frac{\pi}{6};\pi\right]$$; 2) $$\left[\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$.

1) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\pi\right]$$ функция $$y=\sin x$$ сначала возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]$$, затем убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$.

Найдём значения функции на концах и в точке максимума:

$$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad \sin \frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin \pi=0.$$

Следовательно, множество значений функции:

$$E(y)=[0;1].$$

2) На отрезке $$\left[\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ убывает.

Найдём значения на концах отрезка:

$$\sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Значит, множество значений функции:

$$E(y)=\left[-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right].$$

Ответ

1) $$[0;1]$$

2) $$\left[-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right]$$