Упр.729 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции и выяснить её свойства:

1. $$y=1-\sin x$$;
2. $$y=2+\sin x$$;
3. $$y=\sin 3x$$;
4. $$y=2\sin x$$.

1) Для функции $$y=1-\sin x$$:

• $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow 0\le 1-\sin x\le 2,$$ значит $$E(y)=[0;2]$$;
• период функции $$T=2\pi$$;
• функция ни чётная, ни нечётная, так как $$y(-x)=1+\sin x\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x)$$;
• нули функции: $$1-\sin x=0 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• наибольшее значение равно $$2$$ при $$\sin x=-1,\ x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• наименьшее значение равно $$0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

График получается из графика $$y=\sin x$$ отражением относительно оси $$Ox$$ и последующим сдвигом вверх на $$1$$.

2) Для функции $$y=2+\sin x$$:

• $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow 1\le 2+\sin x\le 3,$$ значит $$E(y)=[1;3]$$;
• период функции $$T=2\pi$$;
• функция ни чётная, ни нечётная, так как $$y(-x)=2-\sin x\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x)$$;
• нулей нет, так как $$2+\sin x=0$$ невозможно;
• наибольшее значение равно $$3$$ при $$\sin x=1,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• наименьшее значение равно $$1$$ при $$\sin x=-1,\ x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

График получается из графика $$y=\sin x$$ сдвигом вверх на $$2$$.

3) Для функции $$y=\sin 3x$$:

• $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(y)=[-1;1]$$;
• период функции $$T=\frac{2\pi}{3}$$;
• функция нечётная, так как $$y(-x)=\sin(-3x)=-\sin 3x=-y(x)$$;
• нули функции: $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
• наибольшее значение равно $$1$$ при $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
• наименьшее значение равно $$-1$$ при $$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
• возрастает при $$-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
• убывает при $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.

График получается из графика $$y=\sin x$$ сжатием вдоль оси $$Ox$$ в 3 раза.

4) Для функции $$y=2\sin x$$:

• $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$-1\le \sin x\le 1 \Rightarrow -2\le 2\sin x\le 2,$$ значит $$E(y)=[-2;2]$$;
• период функции $$T=2\pi$$;
• функция нечётная, так как $$y(-x)=2\sin(-x)=-2\sin x=-y(x)$$;
• нули функции: $$2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• наибольшее значение равно $$2$$ при $$\sin x=1,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• наименьшее значение равно $$-2$$ при $$\sin x=-1,\ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• возрастает при $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
• убывает при $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

График получается из графика $$y=\sin x$$ растяжением вдоль оси $$Oy$$ в 2 раза.

Ответ

Для всех четырёх функций область определения $$(-\infty;+\infty)$$, а свойства и графики указаны выше.