Упр.728 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$:
- а) $$\sin 2x\geq-\frac{1}{2}$$; б) $$\sin 3x<\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
1) Рассмотрим неравенство $$\sin 2x \ge -\frac12.$$
Значения функции $$\sin t \ge -\frac12$$ при
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n \le t \le \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Положим $$t=2x$$. Тогда
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n \le 2x \le \frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$
$$-\frac{\pi}{12}+\pi n \le x \le \frac{7\pi}{12}+\pi n.$$
Пересечём с отрезком $$\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$:
$$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{17\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{13\pi}{12};-\frac{5\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{12};\frac{7\pi}{12}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{12};\pi\right].$$
2) Рассмотрим неравенство $$\sin 3x < \frac{\sqrt3}{2}.$$
Значения функции $$\sin t < \frac{\sqrt3}{2}$$ при
$$-\pi-\frac{\pi}{3}+2\pi n < t < \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то есть
$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n < t < \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Положим $$t=3x$$. Тогда
$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n < 3x < \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$-\frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$
Пересечём с отрезком $$\left[-\frac{3\pi}{2};\pi\right]$$:
$$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{11\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{10\pi}{9};-\frac{5\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{4\pi}{9};\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{9};\frac{7\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{8\pi}{9};\pi\right].$$
Ответ
1) $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{17\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{13\pi}{12};-\frac{5\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{12};\frac{7\pi}{12}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{12};\pi\right]$$
2) $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{11\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{10\pi}{9};-\frac{5\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{4\pi}{9};\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{9};\frac{7\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{8\pi}{9};\pi\right]$$
