Упр.724 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$:

1. $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
2. $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
3. $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
4. $$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}.$$

2) $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4}.$$

3) $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Общее решение:

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$

4) $$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Общее решение:

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}$$

2) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4}$$

3) $$\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$

4) $$\frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}$$