Упр.719 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции: 1) $$y=|\cos x|$$; 2) $$y=3-2\cos(x-1)$$.

1) $$y=|\cos x|$$

График функции $$y=|\cos x|$$ получаем из графика $$y=\cos x$$ отражением тех его частей, которые лежат ниже оси $$Ox$$, относительно этой оси.

При этом:

• $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(y)=[0;1]$$;
• период функции $$T=\pi$$;
• функция чётная, так как $$|\cos(-x)|=|\cos x|$$;
• нули функции: $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
• максимум равен $$1$$ и достигается при $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.

2) $$y=3-2\cos(x-1)$$

Это график функции $$y=\cos x$$, сдвинутый вправо на $$1$$, затем отражённый относительно оси $$Ox$$, растянутый в 2 раза по вертикали и поднятый вверх на $$3$$ единицы.

Найдём основные характеристики:

• $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$;
• так как $$-1\le \cos(x-1)\le 1$$, то $$1\le 3-2\cos(x-1)\le 5$$, значит $$E(y)=[1;5]$$;
• период функции $$T=2\pi$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• нулей нет, так как $$3-2\cos(x-1)=0$$ не имеет решений;
• максимум равен $$5$$ при $$\cos(x-1)=-1$$, то есть $$x=\pi+1+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
• минимум равен $$1$$ при $$\cos(x-1)=1$$, то есть $$x=1+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.

Ответ: графики функций построены; для $$y=|\cos x|$$ область значений $$[0;1]$$, для $$y=3-2\cos(x-1)$$ область значений $$[1;5]$$.