Упр.717 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции и выяснить её свойства:

1. $$y=1+\cos x$$;
2. $$y=\cos 2x$$;
3. $$y=3\cos x$$.

1) $$y=1+\cos x$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$0\le 1+\cos x\le 2.$$

Следовательно, $$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[0;2].$$

Функция периодическая с периодом $$T=2\pi,$$ так как

$$1+\cos(x+2\pi)=1+\cos x.$$

Функция чётная, потому что

$$y(-x)=1+\cos(-x)=1+\cos x=y(x).$$

Нули функции находим из уравнения

$$1+\cos x=0 \;\Rightarrow\; \cos x=-1 \;\Rightarrow\; x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Наибольшее значение равно $$2,$$ оно достигается при

$$\cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Наименьшее значение равно $$0,$$ оно достигается при

$$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Функция возрастает при

$$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,$$

и убывает при

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\cos 2x$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$E(y)=[-1;1].$$

Период функции найдём из равенства

$$\cos 2(x+T)=\cos 2x.$$

Тогда $$2T=2\pi,$$ откуда $$T=\pi.$$

Функция чётная:

$$y(-x)=\cos(-2x)=\cos 2x=y(x).$$

Нули функции:

$$\cos 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Наибольшее значение равно $$1,$$ при

$$\cos 2x=1 \;\Rightarrow\; 2x=2\pi n \;\Rightarrow\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Наименьшее значение равно $$-1,$$ при

$$\cos 2x=-1 \;\Rightarrow\; 2x=\pi+2\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Функция возрастает при

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi+\pi n,$$

и убывает при

$$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$y=3\cos x$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$-3\le 3\cos x\le 3,$$

следовательно, $$E(y)=[-3;3].$$

Период функции: $$T=2\pi,$$ так как

$$3\cos(x+2\pi)=3\cos x.$$

Функция чётная:

$$y(-x)=3\cos(-x)=3\cos x=y(x).$$

Нули функции:

$$3\cos x=0 \;\Rightarrow\; \cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Наибольшее значение равно $$3,$$ при

$$\cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Наименьшее значение равно $$-3,$$ при

$$\cos x=-1 \;\Rightarrow\; x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Функция возрастает при

$$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,$$

и убывает при

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$ для всех трёх функций;
1) $$E(y)=[0;2],\ T=2\pi,$$ функция чётная;
2) $$E(y)=[-1;1],\ T=\pi,$$ функция чётная;
3) $$E(y)=[-3;3],\ T=2\pi,$$ функция чётная.