Упр.716 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

715. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:
     1) $$\cos 2x<\frac{1}{2}$$;
     2) $$\cos 3x>\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) Сделаем замену $$2x=t.$$ Тогда $$-\pi \le t \le 3\pi,$$ а неравенство принимает вид $$\cos t<\frac12.$$

Значения, при которых $$\cos t=\frac12,$$ равны $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$ Поэтому

$$\cos t<\frac12 \quad \Longrightarrow \quad t\in\left(-\pi;\,-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3};\,\frac{5\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{3};\,3\pi\right].$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\,-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\,\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6};\,\frac{3\pi}{2}\right].$$

2) Сделаем замену $$3x=t.$$ Тогда $$-\frac{3\pi}{2}\le t\le \frac{9\pi}{2},$$ а неравенство принимает вид $$\cos t>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значения, при которых $$\cos t=\frac{\sqrt3}{2},$$ равны $$t=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$ Поэтому

$$\cos t>\frac{\sqrt3}{2} \quad \Longrightarrow \quad t\in\left(-\frac{\pi}{6};\,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6};\,\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{6};\,\frac{25\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac{\pi}{18};\,\frac{\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{18};\,\frac{13\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{18};\,\frac{25\pi}{18}\right).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\,-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\,\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6};\,\frac{3\pi}{2}\right].$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{18};\,\frac{\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{18};\,\frac{13\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{18};\,\frac{25\pi}{18}\right).$$