Упр.716 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)cos2x < 1/2; 2) cos3x > корень 3/2.

1) Рассмотрим неравенство $$\cos 2x<\frac12.$$

Положим $$t=2x.$$ Тогда

$$-\pi\le t\le 3\pi.$$

Значения $$\cos t$$ меньше $$\frac12$$ при

$$t\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)^c,$$

то есть на отрезке $$[-\pi;3\pi]$$ получаем

$$t\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{3};3\pi\right].$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6};\frac{3\pi}{2}\right].$$

2) Рассмотрим неравенство $$\cos 3x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Положим $$t=3x.$$ Тогда

$$-\frac{3\pi}{2}\le t\le \frac{9\pi}{2}.$$

Значения $$\cos t$$ больше $$\frac{\sqrt3}{2}$$ при

$$t\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right).$$

На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$$ получаем

$$t\in\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6};\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{6};\frac{25\pi}{6}\right).$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac{\pi}{18};\frac{\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{18};\frac{13\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{18};\frac{25\pi}{18}\right).$$

Ответ

1) $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6};\frac{3\pi}{2}\right].$$

2) $$x\in\left(-\frac{\pi}{18};\frac{\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{18};\frac{13\pi}{18}\right)\cup\left(\frac{23\pi}{18};\frac{25\pi}{18}\right).$$