Упр.714 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:

1. $$\cos\frac{\pi}{5}$$ и $$\sin\frac{\pi}{5}$$;
2. $$\sin\frac{\pi}{7}$$ и $$\cos\frac{\pi}{7}$$;
3. $$\cos\frac{3\pi}{8}$$ и $$\sin\frac{5\pi}{8}$$;
4. $$\sin\frac{3\pi}{5}$$ и $$\cos\frac{\pi}{5}$$;
5. $$\cos\frac{\pi}{6}$$ и $$\sin\frac{5\pi}{14}$$;
6. $$\cos\frac{\pi}{8}$$ и $$\sin\frac{3\pi}{10}$$.

Функция $$y=\cos x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$ убывает, поэтому для сравнения чисел удобно выразить синус через косинус по формулам приведения и сравнить полученные аргументы.

1. $$\sin \frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\cos \frac{3\pi}{10}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{5}<\frac{3\pi}{10}$$ и на $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, то $$\cos \frac{\pi}{5}>\cos \frac{3\pi}{10}=\sin \frac{\pi}{5}.$$
2. $$\sin \frac{\pi}{7}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right)=\cos \frac{5\pi}{14}.$$
   Поскольку $$\frac{\pi}{7}<\frac{5\pi}{14}$$, получаем $$\cos \frac{\pi}{7}>\cos \frac{5\pi}{14}=\sin \frac{\pi}{7}.$$
3. $$\sin \frac{5\pi}{8}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\cos \frac{\pi}{8}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{8}<\frac{3\pi}{8}$$, то $$\cos \frac{\pi}{8}>\cos \frac{3\pi}{8},$$
   значит
   $$\cos \frac{3\pi}{8}<\sin \frac{5\pi}{8}.$$
4. $$\sin \frac{3\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{5}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{10}\right)=\cos \frac{\pi}{10}.$$
   Поскольку $$\frac{\pi}{10}<\frac{\pi}{5}$$, имеем $$\cos \frac{\pi}{10}>\cos \frac{\pi}{5},$$
   следовательно,
   $$\sin \frac{3\pi}{5}>\cos \frac{\pi}{5}.$$
5. $$\sin \frac{5\pi}{14}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{14}\right)=\cos \frac{\pi}{7}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{7}<\frac{\pi}{6}$$, то $$\cos \frac{\pi}{7}>\cos \frac{\pi}{6},$$
   значит
   $$\cos \frac{\pi}{6}<\sin \frac{5\pi}{14}.$$
6. $$\sin \frac{3\pi}{10}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos \frac{\pi}{5}.$$
   Поскольку $$\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{5}$$, получаем $$\cos \frac{\pi}{8}>\cos \frac{\pi}{5}=\sin \frac{3\pi}{10}.$$

Ответ

$$\cos \frac{\pi}{5}>\sin \frac{\pi}{5};\quad \cos \frac{\pi}{7}>\sin \frac{\pi}{7};\quad \cos \frac{3\pi}{8}<\sin \frac{5\pi}{8};$$ $$\sin \frac{3\pi}{5}>\cos \frac{\pi}{5};\quad \cos \frac{\pi}{6}<\sin \frac{5\pi}{14};\quad \cos \frac{\pi}{8}>\sin \frac{3\pi}{10}.$$