Упр.712 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;3\pi]$$:
1) $$\cos x=\frac{1}{2}$$;
2) $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
3) $$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
4) $$\cos x=-\frac{1}{2}$$.

Для уравнения $$\cos x = a$$ на отрезке $$[0;3\pi]$$ выпишем все значения, получающиеся из общего решения.

1. $$\cos x=\frac12$$

   $$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

   $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$

2. $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

   $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$

3. $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=\pm \left(\pi-\arccos \frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

   $$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4}$$

4. $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm \left(\pi-\arccos \frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

   $$x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$;
2) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$;
3) $$\frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{11\pi}{4}$$;
4) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}$$.