Упр.711 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Используя свойство возрастания или убывания функции $$y=\cos x$$, сравнить числа:

1. 1) $$\cos\frac{\pi}{7}$$ и $$\cos\frac{8\pi}{9}$$; 2) $$\cos\frac{8\pi}{7}$$ и $$\cos\frac{10\pi}{7}$$; 3) $$\cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right)$$ и $$\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)$$; 4) $$\cos\left(-\frac{8\pi}{7}\right)$$ и $$\cos\left(-\frac{9\pi}{7}\right)$$; 5) $$\cos 1$$ и $$\cos 3$$; 6) $$\cos 4$$ и $$\cos 5$$.

Функция $$y=\cos x$$ убывает на отрезке $$[0;\pi]$$ и возрастает на отрезке $$[\pi;2\pi]$$. На отрезке $$[-\pi;0]$$ она возрастает, а на отрезке $$[-2\pi;-\pi]$$ убывает.

1. $$\frac{\pi}{7}<\frac{8\pi}{9},$$ причём оба числа принадлежат отрезку $$[0;\pi].$$

   Так как на $$[0;\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, то

   $$\cos\frac{\pi}{7}>\cos\frac{8\pi}{9}.$$

2. $$\frac{8\pi}{7}<\frac{10\pi}{7},$$ причём оба числа принадлежат отрезку $$[\pi;2\pi].$$

   Так как на $$[\pi;2\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает, то

   $$\cos\frac{8\pi}{7}<\cos\frac{10\pi}{7}.$$

3. $$-\frac{6\pi}{7}<-\frac{\pi}{8},$$ причём оба числа принадлежат отрезку $$[-\pi;0].$$

   Так как на $$[-\pi;0]$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает, то

   $$\cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right)<\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right).$$

4. $$-\frac{8\pi}{7}>-\frac{9\pi}{7},$$ причём оба числа принадлежат отрезку $$[-2\pi;-\pi].$$

   Так как на $$[-2\pi;-\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, то

   $$\cos\left(-\frac{8\pi}{7}\right)<\cos\left(-\frac{9\pi}{7}\right).$$

5. $$1<3,$$ причём оба числа принадлежат отрезку $$[0;\pi].$$

   Так как на $$[0;\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, то

   $$\cos 1>\cos 3.$$

6. $$4<5,$$ причём оба числа принадлежат отрезку $$[\pi;2\pi].$$

   Так как на $$[\pi;2\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает, то

   $$\cos 4<\cos 5.$$

Ответ: $$\cos\frac{\pi}{7}>\cos\frac{8\pi}{9},\ \cos\frac{8\pi}{7}<\cos\frac{10\pi}{7},\ \cos\left(-\frac{6\pi}{7}\right)<\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right),\ \cos\left(-\frac{8\pi}{7}\right)<\cos\left(-\frac{9\pi}{7}\right),\ \cos 1>\cos 3,\ \cos 4<\cos 5.$$