Упр.703 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=f(x)$$ периодом $$T$$, если:
   1. $$y=\sin 2x$$, $$T=\pi$$;
   2. $$y=\cos\frac{x}{2}$$, $$T=4\pi$$;
   3. $$y=\tg 2x$$, $$T=\frac{\pi}{2}$$;
   4. $$y=\sin\frac{4x}{5}$$, $$T=\frac{5\pi}{2}$$.

1) Проверим, что при $$T=\pi$$ выполняется равенство $$y(x+T)=y(x).$$

$$y(x+\pi)=\sin 2(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin 2x=y(x).$$

Значит, функция периодична с периодом $$\pi.$$

2) Проверим период $$T=4\pi$$ для функции $$y=\cos \frac{x}{2}.$$

$$y(x+4\pi)=\cos \frac{x+4\pi}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\cos \frac{x}{2}=y(x).$$

Следовательно, $$4\pi$$ — период функции.

3) Проверим период $$T=\frac{\pi}{2}$$ для функции $$y=\tg 2x.$$

$$y\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\tg\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\tg(2x+\pi)=\tg 2x=y(x).$$

Значит, функция периодична с периодом $$\frac{\pi}{2}.$$

4) Проверим период $$T=\frac{5\pi}{2}$$ для функции $$y=\sin \frac{4x}{5}.$$

$$y\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin \frac{4}{5}\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{4x}{5}+2\pi\right)=\sin \frac{4x}{5}=y(x).$$

Следовательно, $$\frac{5\pi}{2}$$ — период функции.

Ответ: во всех четырёх случаях указанное значение $$T$$ является периодом функции.